Question

16．已知函数f（x）=x³-mx，x∈R，若方程f（x）=2在x∈[-4，4]恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是$（{3，\frac{31}{2}}]$．

Answer 1

分析 函数f（x）=x³-mx，x∈R，若方程f（x）=2在x∈[-4，4]恰有3个不同的实数解，则g（x）=x³-mx-2在x∈[-4，4]恰有3个不同的零点，进而求出函数的两个极值点，根据极大值为正，极小值为负，g（-4）不大于0，g（4）不小于0，可得实数m的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=x³-mx，x∈R，若方程f（x）=2在x∈[-4，4]恰有3个不同的实数解，
∴g（x）=x³-mx-2在x∈[-4，4]恰有3个不同的零点，
g′（x）=3x²-m=0时，x=±$\sqrt{\frac{m}{3}}$，
故m＞0，且$\sqrt{\frac{m}{3}}$＜4，即0＜m＜48，
且$\left\{\begin{array}{l}g（-4）≤0\\ g（-\frac{m}{3}）＞0\\ g（\frac{m}{3}）＜0\\ g（4）≥0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-66+4m≤0\\ \frac{2m}{9}\sqrt{3m}-2＞0\\-\frac{2m}{9}\sqrt{3m}-2＜0\\ 62-4m≥0\end{array}\right.$，
解得：m∈$（{3，\frac{31}{2}}]$，
故答案为：$（{3，\frac{31}{2}}]$．

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，熟练掌握方程根与对应函数零点之间的关系是解答的关键．