Question

1．如图，△ABC的外接圆为⊙O，延长CB至Q，再延长QA至P，且QA为⊙O的切线
（1）求证：QC²-QA²=BC•QC
（2）若AC恰好为∠BAP的平分线，AB=10，AC=15，求QA的长度．

Answer 1

分析 （1）由切线定理得QA²=QB•QC，由此能证明QC²-QA²=BC•QC．
（2）由弦切角定理和角平分线性质得QC²=QA²=15QC，△QCA∽△QAB，由此能求出QA的长度．

解答 证明：（1）∵QA为⊙O的切线，
∴QA²=QB•QC，
∵QC-QB=BC，
∴QC²-QA²=QC²-QB•QC=BC•QC．
解：（2）∵QA为⊙O的切线，∴∠PAC=∠ABC，
∵AC恰好为∠BAP的平分线，∴∠BAC=∠ABC，
∴AC=BC=15，
∴QC²=QA²=15QC，①
又由△QCA∽△QAB，得$\frac{QC}{QA}=\frac{AC}{AB}=\frac{15}{10}$，②
联合①②，消掉QC，得：QA=18．

点评 本题考查两线段平差等于两线段积的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切线定理、弦切角定理的合理运用．