Question

已知函数f（x）=xlnx．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），且x₁≠x₂，证明：

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜f′（

x1+x2

2

）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导，在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得单调区间，有极值点的定义可求极值；
（2）不妨设x₁＜x₂，kAB＜f′(

x1+x2

2

)?

x2lnx2-x1lnx1

x2-x1

＜ln

x1+x2

2

+1，即证x2ln

2x2

x1+x2

＜x1ln

2x1

x1+x2

+x2-x1，两边同除以x₁得，

x2

x1

ln

2• x2 x1

1+ x2 x1

＜ln

2

1+ x2 x1

+

x2

x1

-1，令

x2

x1

=t，则t＞1，只证：tln

2t

1+t

＜ln

2

1+t

+t-1，令g（t）=tln

2t

1+t

-ln

2

1+t

-t+1，利用导数证明g（t）＜0即可；

解答： （1）解：定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+x•

1

x

=1+lnx，
令f′（x）＞0，则lnx＞-1=ln

1

e

，∴x＞

1

e

；
令f′（x）＜0，则lnx＜-1=ln

1

e

，∴0＜x＜

1

e

，
∴f（x）的单调增区间是（

1

e

，+∞），单调减区间是（0，

1

e

）．
f（x）_极小值=f（

1

e

）=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

，f（x）无极大值．
（2）证明：不妨设x₁＜x₂，
kAB＜f′(

x1+x2

2

)?

x2lnx2-x1lnx1

x2-x1

＜ln

x1+x2

2

+1，即x2lnx2-x1lnx1＜x2ln

x1+x2

2

-x1ln

x1+x2

2

+x₂-x₁，
x2ln

2x2

x1+x2

＜x1ln

2x1

x1+x2

+x2-x1，
两边同除以x₁得，

x2

x1

ln

2• x2 x1

1+ x2 x1

＜ln

2

1+ x2 x1

+

x2

x1

-1，
令

x2

x1

=t，则t＞1，即证：tln

2t

1+t

＜ln

2

1+t

+t-1，
令g（t）=tln

2t

1+t

-ln

2

1+t

-t+1，
g′（t）=ln

2t

1+t

+t•

1+t

2t

•

2

(1+t)2

+

1+t

2

•

2

(1+t)2

-1=ln

2t

1+t

+

1-t

1+t

=ln（1+

t-1

t+1

）-

t-1

t+1

，
令

t-1

t+1

=x（x＞0），h（x）=ln（1+x）-x，
h′（x）=

1

1+x

-1=

-x

1+x

＜0，h（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴h（x）＜h（0）=0，即ln（1+x）＜x，即g′（t）=ln（1+

t-1

t+1

）-

t-1

t+1

＜0恒成立，
∴g（t）在（1，+∞）上是减函数，所以g（t）＜g（1）=0，
∴tln

2t

1+t

＜ln

2

1+t

+t-1得证，
∴kAB＜f′(

x1+x2

2

)成立．

点评：该题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查不等式的证明，考查学生的运算推理能力和转化问题的能力．