Question

8．已知函数f（x）=x²+ax+b存在实数x₀，且有|x₀|≥3，使得f（x₀）=0，则a²+4b²的最小值35$\frac{1}{37}$．

Answer 1

分析 将x²+ax+b=0变形为xa+$\frac{1}{2}$•2b+x²=0，即点（a，2b）在直线xa+$\frac{1}{2}$•2b+x²=0上，则a²+4b²的表示点（a，2b）与（0，0）的距离的平方；（0，0）到直线xa+$\frac{1}{2}$•2b+x²=0距离的平方为$\frac{4{x}^{4}}{1+4{x}^{2}}$，通过换元，利用对勾函数的单调性，求出最小值．

解答 解：由于x²+ax+b=0，
则xa+b+x²=0，
∴点（a，2b）在直线xa+$\frac{1}{2}$•2b+x²=0上，
则a²+4b²的表示点（a，2b）与（0，0）的距离的平方．
∴（0，0）到直线xa+$\frac{1}{2}$•2b+x²=0距离的平方为$\frac{{（x}^{2}）^{2}}{{x}^{2}+\frac{1}{4}}$，
∴a²+4b²≥$\frac{4{x}^{4}}{1+4{x}^{2}}$，
令t=1+4x²≥1+4×9=37，
∴a²+4b²≥$\frac{4（\frac{t-1}{4}）^{2}}{t}$=$\frac{1}{4}$（t+$\frac{1}{t}$-2），
由y=t+$\frac{1}{t}$-2（t≥37）为增函数，
∴当t=37时有最小值35+$\frac{1}{37}$；
当且仅当x=±3取等号．
故a²+4b²的最小值为35$\frac{1}{37}$．
故答案为：35$\frac{1}{37}$．

点评 本题考查利用几何解决代数中最值问题；考查换元的数学方法及对勾函数的单调性求最值，是一道难题．