Question

等腰Rt△ABC斜边BC上的高AD=1，以AD为折痕将△ABD与△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出以下结论：

①BD⊥AC
②∠BAC=60°
③异面直线AB与CD之间的距离为

2

2

④点D到平面ABC的距离为

3

3

⑤直线AC与平面ABD所成的角为

π

4

其中正确结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：棱锥的结构特征,平面与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：运用线面垂直的判定和性质，以及面面垂直的性质，即可判断①；
由AD=BD=CD=1，且互相垂直，即可判断②；
以D为原点，DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设出A，B，C的坐标，和向量AB，AC，DC的坐标，运用异面直线AB与DC之间的距离d=

| AC • n |

| n |

，求出它，即可判断③；
运用体积相等，由V_A-BDC=V_D-ABC得点D到平面ABC的距离，可判断④；
由线面角的定义，即可求出它，可判断⑤．

解答： 解：∵AD⊥BD，AD⊥CD，平面ABD⊥平面ACD，∴∠BDC=90°，
∴BD⊥平面ACD，∴BD⊥AC，∴①正确；
又知AD=BD=CD=1，∴△ABC为正三角形，∠BAC=60°，∴②正确；
以D为原点，DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
易知A（0，0，1），B（1，0，0），C（0，1，0），
∴

AB

=（1，0，-1），

AC

=（0，1，-1），

DC

=（0，1，0），
设向量n=（x，y，z），

n

•

AB

=0，

n

•

DC

=0
得x-z=0，y=0，令z=1得n=（1，0，1），
∴异面直线AB与DC之间的距离d=

| AC • n |

| n |

=

2

2

，故③正确；
∵△ABC边长为

2

，．∴S_△ABC=

3

2

，
由V_A-BDC=V_D-ABC得

1

3

×（

1

2

×1×1）×1=

1

3

×

3

2

×h，∴h=

3

3

，故④正确；

∵CD⊥平面ABD，∴∠CAD为直线AC与平面ABD所成的角，易知∠CAD=45°，故⑤正确；
故答案为：①②③④⑤．

点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，以及距离和空间角，注意图形折叠前后的不变和变化，属于中档题．