Question

6．在△ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，己知2cos²$\frac{A}{2}$+（cosB-$\sqrt{3}$sinB）cosC=1
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若b=2，且△ABC的面积取值范围为[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据sinA不为0求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（Ⅱ）利用三角形的面积求解a的范围，然后利用余弦定理求解c的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）2cos²$\frac{A}{2}$+（cosB-$\sqrt{3}$sinB）cosC=1
可得cosA+（cosB-$\sqrt{3}$sinB）cosC=0，
∴-cos（C+B）+cosCcosB-$\sqrt{3}$sinBcosC=0，
∴sinCsinB-$\sqrt{3}$sinBcosC=0，
∵sinB≠0，
∴sinC-$\sqrt{3}$cosC=0，
∵cosC≠0，
∴tanC=$\sqrt{3}$，
∵C∈（0，π）．
解得C=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）b=2，且△ABC的面积取值范围为[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]，
可得$\frac{\sqrt{3}}{2}≤$$\frac{1}{2}absinC$$≤\sqrt{3}$，
可得：1≤a≤2．
由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+4-2a=（a-1）²+3∈[3，4]，
则c∈[$\sqrt{3}$，2]．

点评 本题主要考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角函数的恒等变换公式的运用，同时考查三角形的面积公式及取值范围，运用正弦函数的单调性，属于中档题．