Question

12．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A₁，A₂，且以线段A₁A₂为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，则C的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 以线段A₁A₂为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离$\frac{2ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=a，化简即可得出．

解答 解：以线段A₁A₂为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，
∴原点到直线的距离$\frac{2ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=a，化为：a²=3b²．
∴椭圆C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．