Question

6．若函数f（x）=klnx-x只有一个零点，则实数k的取值范围是（-∞，0]∪{e}．

Answer 1

分析 函数f（x）=klnx-x有且只有一个零点可转化为函数y=klnx与y=x的图象有且只有一个交点；作函数图象可知，分相切与不相切讨论即可．

解答 解：∵函数f（x）=klnx-x有且只有一个零点，
∴函数y=klnx与y=x的图象有且只有一个交点，
当k＞0时，作函数y=klnx与y=x的图象如下，
函数y=klnx的导函数为：y′=$\frac{k}{x}$，
方程只有一个解，可得：$\frac{k}{{x}_{0}}=1$，并且x₀=klnx₀，解得k=e，
当k≤0时成立，函数f（x）=klnx-x只有一个零点，恒成立．
综上所述，实数k的取值范围为（-∞，0]∪{e}．
故答案为：（-∞，0]∪{e}．

点评 本题考查了学生作图与用图的能力，同时考查了导数的几何意义的应用，属于中档题．