Question

已知

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ）．
（1）若α-β=

π

6

，求

a

•

b

的值；
（2）若

a

•

b

=

4

5

，α=

π

8

，求tan（α+β）的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用数量积运算和两角和差的余弦公式即可得出；
（2）利用数量积运算、同角三角函数的基本关系式、两角和差的正切公式即可得出．

解答： 解：（1）∵α-β=

π

6

，∴

a

•

b

=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)=cos

π

6

=

3

2

；
（2）∵

a

•

b

=cos（α-β）=cos(

π

8

-β)=

4

5

．
∴sin(

π

8

-β)=±

1-cos2( π 8 -β)

=±

3

5

．
∴tan(

π

8

-β)=±

3

4

．
∴当tan(

π

8

-β)=

3

4

时，tan(

π

8

+β)=tan[

π

4

-(

π

8

-β)]=

tan π 4 -tan( π 8 -β)

1+tan π 4 tan( π 8 -β)

=

1- 3 4

1+ 3 4

=

1

7

．
同理当tan(

π

8

-β)=-

3

4

时，tan(

π

8

+β)=7．

点评：本题考查了数量积运算、同角三角函数的基本关系式、两角和差的余弦及正切公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．