Question

3．如图，四棱锥P-ABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点．
（1）在棱PB上是否存在一点Q，使得QM∥面PAD？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由；
（2）求点D到平面PAM的距离．

Answer 1

分析 （1）取棱PB的中点Q，连结QM，QA，又M为PC的中点，证明QM∥AD，利用直线与平面平行的判定定理证明QM∥面PAD．
（2）设点D到平面PAC的距离为h，由V_D-PAC=V_P-ACD，通过证明以及计算即可求点D到平面PAM的距离．

解答 解：（1）当点Q为棱PB的中点时，QM∥面PAD，证明如下
…（1分）
取棱PB的中点Q，连结QM，QA，又M为PC的中点，
所以$QM∥BC且QM=\frac{1}{2}BC$，
在菱形ABCD中AD∥BC可得QM∥AD…（3分）
又QM?面PAD，AD?面PAD
所以QM∥面PAD…（5分）
（2）点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，
由（Ⅰ）可知PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，
即PO为三棱锥P-ACD的体高．…（7分）
在Rt△POC中，$PO=OC=\sqrt{3}$，$PC=\sqrt{6}$，
在△PAC中，PA=AC=2，$PC=\sqrt{6}$，边PC上的高AM=$\sqrt{P{A^2}-P{M^2}}=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$，
所以△PAC的面积${S_{△PAC}}=\frac{1}{2}PC•AM=\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\frac{{\sqrt{10}}}{2}=\frac{{\sqrt{15}}}{2}$，…（9分）
设点D到平面PAC的距离为h，
由V_D-PAC=V_P-ACD得     $\frac{1}{3}{S_{△PAC}}•h=\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•PO$…（10分）
，又${S_{△ACD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{2^2}=\sqrt{3}$，所以$\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{15}}}{2}•h=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$，…（11分）
解得$h=\frac{{2\sqrt{15}}}{5}$，所以点D到平面PAM的距离为$\frac{{2\sqrt{15}}}{5}$．…（12分）

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，点线面距离的求法，等体积的方法的应用，考查空间想象能力以及计算能力．