Question

集合M={x|-2≤x≤a}≠∅，P={y|y=2x+3，x∈M}，Q={z|z=x²，x∈M}，如果Q⊆P，求a的取值范围？

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用

专题：集合

分析：首先，确定集合P={y|-1≤y≤2a+3}，然后，分为三种情形：-2≤a≤0，0＜a≤2，a＞2，进行讨论，确定集合Q的取值情况，最后，结合条件Q⊆P，从而确定a的取值范围．

解答： 解：∵集合M={x|-2≤x≤a}≠∅，
∴a≥-2，
∵y=2x+3，x∈M，
∴P={y|-1≤y≤2a+3}，
当-2≤a≤0时，得
集合Q={z|a²≤z≤4}
∵Q⊆P，
∴2a+3≥4，
∴a≥

1

2

，
不合题意，舍去；
当0＜a≤2时，得
集合Q={z|0≤z≤4}
∵Q⊆P，
∴2a+3≥4，
∴a≥

1

2

，
∴

1

2

≤a≤2；
当a＞2时，得
集合Q={z|0≤z≤a²}
∵Q⊆P，
∴2a+3≥a²，
∴-1≤a≤3，
∵a＞2，
∴2＜a≤3，
综上，符合条件a∈[

1

2

，3]．

点评：本题重点考查集合的表示方法，集合间的基本关系，注意一次函数和二次函数的图象和性质的灵活运用，属于中档题，难度中等．