Question

19．设函数f（x）=|x+a|-|x+1|．
（Ⅰ）当a=-$\frac{1}{2}$时，解不等式：f（x）≤2a；
（Ⅱ）若对任意实数x，f（x）≤2a都成立，求实数a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）对x讨论，分x≤-1，当$-1＜x≤\frac{1}{2}$时，当$x＞\frac{1}{2}$时去掉绝对值，解不等式，求并集即可得到所求解集；
（Ⅱ）运用绝对值表达式的性质，可得f（x）的最大值，即有|a-1|≤2a，解出a的范围，可得a的最小值．

解答 解：（Ⅰ）当a=$-\frac{1}{2}$时，不等式化为：$|{x-\frac{1}{2}}|-|{x+1}|≤-1$，
当x≤-1时，$\frac{1}{2}-x+x+1≤-1$，得$\frac{3}{2}≤-1$，
所以x∈Φ．…（2分）
当$-1＜x≤\frac{1}{2}$时，$\frac{1}{2}-x-x-1≤-1$，得$x≥\frac{1}{4}$，
所以$\frac{1}{4}≤x≤\frac{1}{2}$成立．…（4分）
当$x＞\frac{1}{2}$时，$x-\frac{1}{2}-x-1≤-1$，得$-\frac{1}{2}$≤0，所以$x＞\frac{1}{2}$成立．
综上，原不等式的解集为$\left\{{x|x≥\frac{1}{4}}\right\}$…（6分）
（Ⅱ）∵|x+a|-|x+1|≤|（x+a）-（x+1）|=|a-1|，
∴f（x）=|x+a|-|x+1|的最大值为|a-1|…（8分）
由题意知：|a-1|≤2a，即-2a≤a-1≤2a，
 解得：a≥$\frac{1}{3}$，
所以实数a的最小值为$\frac{1}{3}$…（10分）

点评 本题考查绝对值表达式的解法和性质，考查分类讨论的思想方法和恒成立问题的解法，注意运用转化思想，考查运算能力，属于中档题．