题目内容

14．用长为16cm，宽为10cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四周的四个小矩形向上翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高x为多少时，容器的容积V（x）最大？最大容积是多少？

分析 结合图形根据题意即可得出容积V（x）=4x3-52x2+160x，然后求导数，根据导数符号即可求出函数V（x）的最大值，以及对应的x值．

解答 解：据题意得，容器的底面长为16-2x，宽为10-2x，0＜x＜5；
∴容器的容积为V（x）=（16-2x）（10-2x）x=4x3-52x2+160x，0＜x＜5；
V′（x）=12x2-104x+160=4（x-2）（3x-20）；
∴0＜x＜2时，V′（x）＞0，2＜x＜5时，V′（x）＜0；
∴x=2时，V（x）取最大值144；
即该容器的高x=2时，容器的容积V（x）最大，最大容积是144cm3．

点评 本题考查长方体体积的计算，数形结合解题的方法，注意要正确确定x的范围，基本初等函数导数的求法，以及根据导数符号求函数最值的方法．

练习册系列答案
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若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
5．已知过椭圆$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1的下焦点F的直线l的方程为y=-$\sqrt{2}$．
（1）若直线l是顶点在原点的抛物线的准线，求该抛物线的标准方程；
（2）若直线l和椭圆相交所得弦长为2，求椭圆方程．
2．（Ⅰ）求函数f（x）=8cosx-6cos2x+cos4x在[0，$\frac{π}{3}$）上的最小值；
（Ⅱ）设x∈（0，$\frac{π}{3}$），证明：$\frac{4}{3}$sinx-$\frac{1}{6}$sin2x＜x＜$\frac{8}{3}$sinx-sin2x+$\frac{1}{12}$sin4x；
（Ⅲ）设n为偶数，且n≥6．单位圆内接正n边形面积记为Sn．
（1）证明：$\frac{4}{3}$S2n一$\frac{1}{3}$Sn＜π＜$\frac{8}{3}$S2n一2Sn+$\frac{1}{3}{S_{\frac{n}{2}}}$；
（2）已知1.732＜$\sqrt{3}$＜1.733，3.105＜S24＜3.106，证明：3.14＜π＜3.15．
9．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD=4AP，∠BAD=∠PAD=60°，E，F分别是AP，AD的中点．
（Ⅰ）求证：平面BEF⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角P-BE-F的正切值．
19．设函数f（x）=|x+a|-|x+1|．
（Ⅰ）当a=-$\frac{1}{2}$时，解不等式：f（x）≤2a；
（Ⅱ）若对任意实数x，f（x）≤2a都成立，求实数a的最小值．
6．公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S1，S2，S4成等比数列
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=$\frac{1}{{S}_{n}}$，证明对任意的n∈N*，b1+b2+b3+…+bn＜2恒成立．
3．已知关于x的不等式ax2+bx+1＞0的解集是-1＜x＜$\frac{1}{3}$，求a，b的值．
8．设函数f（x）=（2x2-4ax）lnx+x2．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

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