Question

10．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，且 PA⊥面ABCD，PA∥BE，PA=3BE．
（1）求证：PC⊥BD；
（2）若直线PC与平面ABCD所成角为60°，求二面角E-PC-A的余弦值的大小．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥面ABCD，利用线面垂直的性质定理可得：PA⊥BD．利用正方形的性质可得：BD⊥AC．再利用线面垂直的判定定理与性质定理即可证明．
（2）由PA⊥平面ABCD，可得∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角，大小为60°，解得PA=$3\sqrt{6}$，BE=$\sqrt{6}$．建立如图所示的空间直角坐标系．利用法向量的夹角即可得出二面角．

解答 （1）证明：∵PA⊥面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD．
由四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
由PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，又PC?平面PAC，
∴BD⊥PC．
（2）解：∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角，大小为60°，
∴tan60°=$\frac{PA}{AC}$，∴PA=3$\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$=$3\sqrt{6}$，∴BE=$\sqrt{6}$．
建立如图所示的空间直角坐标系．A（0，0，0），C（3，3，0），P（0，0，3$\sqrt{6}$），E（3，0，$\sqrt{6}$），B（3，0，0），D（0，3，0）．
$\overrightarrow{PE}$=（3，0，-2$\sqrt{6}$），$\overrightarrow{EC}$=（0，3，-$\sqrt{6}$），
设平面CPE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3x-2\sqrt{6}z=0}\\{3y-\sqrt{6}z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=$（2\sqrt{6}，\sqrt{6}，3）$．
取平面PAC的法向量$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{BD}$=（-3，3，0），
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-3\sqrt{6}}{3\sqrt{2}×\sqrt{39}}$=-$\frac{\sqrt{13}}{13}$．
由图可知：二面角E-PC-A的平面角为锐角，因此二面角E-PC-A的余弦值的大小为$\frac{{\sqrt{13}}}{13}$．

点评 本题考查了空间位置关系空间角、法向量的应用、向量垂直与数量积的关系、正方形的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．