Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率为

2

2

，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为

2

，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设经过点M（0，2）的直线AB交椭圆C于A、B两点，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

c

a

=

2

2

，

2b2

a

=

2

，a²=b²+c²，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意设直线AB的方程为y=kx+2，由

y=kx+2 x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²+8kx+6=0，由此韦达定理、点到直线距离公式等结合已知条件能求出△AOB面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F，离心率为

2

2

，
∴

c

a

=

2

2

，即a=

2

c，①
∵过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为

2

，
∴

2b2

a

=

2

，②
又a²=b²+c²，③
由①②③，解得a=

2

，b=c=1，
∴椭圆C的方程

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意设直线AB的方程为y=kx+2，
由

y=kx+2 x2 2 +y2=1

，消去y并整理，得（2k²+1）x²+8kx+6=0，
由（8k）²+8kx+6=0，
由△=（8k）²-24（2k²+1）＞0，
得k3＞

3

2

，由韦达定理，得x1+x2=-

8k

2k2+1

，x1x2=

6

2k2+1

，
∵点O到直线AB的距离为d=

2

1+k2

，
|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

，
∴S△AOB=

1

2

|AB|d=

(x1+x2)2-4x1x2

=

8(2k2-3) (2k2+1)2

，
设t=2k²-3，由k2＞

3

2

，知t＞0，
∴S_△AOB=

8t (t+4)2

=

8 t+ 16 t +8

，
由t+

16

t

≥8，得S△AOB≤

2

2

，
当且仅当t=4，k2=

7

2

时，等号成立．
∴△AOB面积的最大值为

2

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．