Question

15．某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式C=3+x，每日的销售额S（单位：万元）与日产量x的函数关系式：S=$\left\{\begin{array}{l}{3x+\frac{k}{x-8}+5，0＜x＜6}\\{-\frac{1}{5}{x}^{2}+\frac{21}{5}x-4，x≥6}\end{array}\right.$，已知每日的利润L=S-C，且当x=2时，L=3．
（1）求k的值；
（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）结合已知中C=3+x，S=$\left\{\begin{array}{l}{3x+\frac{k}{x-8}+5，0＜x＜6}\\{-\frac{1}{5}{x}^{2}+\frac{21}{5}x-4，x≥6}\end{array}\right.$，L=S-C，当x=2时，L=3，构造关于k的方程，解得答案．
（2）结合二次函数的图象和性质，分析利润的最大值，可得答案．

解答 解：（1）∵当x=2时，L=S-C=$6+\frac{k}{-6}+5$-5=3，解得k=18，
（2）由（1）得：L=S-C=$\left\{\begin{array}{l}2x+\frac{18}{x-8}+2，0＜x＜6\\-\frac{1}{5}{x}^{2}+\frac{16}{5}x-7，x≥6\end{array}\right.$，
当0＜x＜6时，L=$2x+\frac{18}{x-8}+2$，
L′=2+$\frac{x-26}{（x-8）^{2}}$，
令L′=0，则x=5，或x=11（舍去），
当0＜x＜5时，L′＞0，L为增函数，当5＜x＜6时，L′＜0，L为减函数，
故当x=5时，L取最大值6；
当x≥6时，L=$-\frac{1}{5}{x}^{2}+\frac{16}{5}x-7$的图象是开口朝下，且以直线x=8为对称轴的抛物线，
故当x=8时，函数取最大值：$\frac{29}{5}$，
综上所述，当x=5时，L取最大值6；
即日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大，最大值为6万元．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，分段函数的最值，二次函数的图象和性质，难度中档．