Question

10．判断下列函数的单调性：
（1）f（x）=$\frac{1}{3-2x-{x}^{2}}$；
（2）f（x）=x-2$\sqrt{x}$；
（3）f（x）=$\frac{1+2x}{{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）可以看出f（x）为复合函数，而二次函数t=3-2x-x²在f（x）定义域上的单调性可以判断，从而根据复合函数的单调性即可判断出f（x）的单调性；
（2）可根据单调性的定义判断，定义域上设任意的x₁＞x₂，然后作差，进行分子有理化和提取公因式便可得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{2}{\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}}）$，从而可以看出分成x₁，x₂∈（0，1），和x₁，x₂∈[1，+∞）两种情况来判断f（x）的单调性；
（3）可求导数，然后解f′（x）≥0，便可得出f（x）的递增区间，进而得出其单调减区间．

解答 解：（1）设3-2x-x²=t，$\frac{1}{t}$为减函数；
令3-2x-x²=0，得x=-3，或1；
函数t=3-2x-x²的对称轴为x=-1；
∴根据复合函数的单调性得：
f（x）在（-∞，-3），（-3，-1]上单调递减，在（-1，1），（1，+∞）上单调递增；
（2）设x₁＞x₂≥0，则：$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}-2\sqrt{{x}_{1}}-{x}_{2}+2\sqrt{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）+2（\sqrt{{x}_{2}}-\sqrt{{x}_{1}}）$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{2}{\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}}）$；
∵x₁＞x₂；
∴x₁-x₂＞0；
①x₁，x₂∈（0，1）时，$0＜\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}＜2$；
∴$1-\frac{2}{\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在[0，1）上单调递减；
②x₁，x₂∈[1，+∞）时，$\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}＞2$；
∴$1-\frac{2}{\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[1，+∞）上单调递增；
（3）$f′（x）=\frac{-2{x}^{2}-2x}{{x}^{4}}=-\frac{2（x+1）}{{x}^{3}}$；
解f′（x）≥0得，-1≤x＜0；
∴x∈（-∞，-1）∪（0，+∞）时，f′（x）＜0；
∴f（x）在[-1，0）上单调递增，在（-∞，-1），（0，+∞）上单调递减．

点评 考查反比例函数、复合函数，及二次函数的单调性及单调区间的求法，根据单调性定义判断函数单调性的方法和过程，作差的方法比较f（x₁）与f（x₂），以及根据导数符号判断函数单调性的方法．