Question

5．已知数列{a_n}为等差数列，公差d≠0{a_n}的部分项组成的数列a_k1，a_k2，…，a_kn恰为等比数列，其中k₁=1，k₂=5，k₃=17，则k_n=2•3^n-1-1．

Answer 1

分析 运用等差（比）数列的定义分别求得${a}_{{k}_{n}}$，然后列方程求得k_n．

解答 解：设{a_n}的首项为a₁，
∵${a}_{{k}_{1}}$，${a}_{{k}_{2}}$，${a}_{{k}_{3}}$成等比数列，
∴（a₁+4d）²=a₁（a₁+16d）．
得a₁=2d，q=$\frac{{a}_{{k}_{2}}}{{a}_{{k}_{1}}}$=3．
∵${a}_{{k}_{n}}$=a₁+（k_n-1）d，又${a}_{{k}_{n}}$=a₁•3^n-1，
∴k_n=2•3^n-1-1．
故答案为：2•3^n-1-1．

点评 运用等差（比）数列的定义转化为关于k_n的方程是解题的关键，转化时要注意：a_kn是等差数列中的第k_n项，而是等比数列中的第n项，是中档题．