Question

14．函数f（x）=$\frac{ax+b}{{1+{x^2}}}$是定义在（-1，1）上的奇函数，且f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，
（Ⅱ）用函数单调性的定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据奇函数的性质可知f（0）=0，求出b，a值；
（Ⅱ）利用定义的方法判断函数单调性，设?x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，判断f（x₁）-f（x₂）的正负即可．

解答 解：（Ⅰ）由题知，f（x）是（-1，1）上的奇函数，
所以f（0）=0，即b=0…（3分）
又因为f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$．
所以a=1，
∴f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$；
（Ⅱ）证明：?x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，
则有f（x₁）-f（x₂）=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}$，
∵x₁＜x₂，x₁，x₂∈（-1，1），
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}$＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数在（-1，1）上是增函数．

点评 本题考查了函数的奇偶性和利用定义的方法判断函数的单调性，属于基础题型，应熟练掌握．