Question

6．已知函数f（x）=x²-bx+c，f（x）的对称轴为x=1且f（0）=-1．
（1）求b，c的值；
（2）当x∈[0，3]时，求f（x）的取值范围．
（3）若不等式f（log₂k）＞f（2）成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用二次函数的性质求解即可；
（2）求出二次函数的表达式，配方，根据函数的单调性求出函数的值域；
（3）利用二次函数的图象可得出log₂k＞2或log₂k＜0，根据对数函数求解．

解答 解：（1）∵f（x）的对称轴为x=1且f（0）=-1，
∴$\frac{b}{2a}$=1，f（0）=c=-1，
∴b=2，c=-1；
（2）由（1）得：f（x）=x²-2x-1=（x-1）²-2，
∴x∈[0，3]时，最小值为-2，最大值为f（3）=2，
∴f（x）的取值范围为[-2，2]；
（3）f（log₂k）＞f（2）=-1，
∴log₂k＞2或log₂k＜0，
∴k＞4或0＜k＜1．

点评 考查了二次函数的性质和闭区间求函数的最值及对数函数的应用，属于基础题型，应熟练掌握．