Question

5．定义在（-1，1]的函数f（x）满足f（x）+1=$\frac{1}{f（x+1）}$，且当x∈[0，1]时，f（x）=-x，若g（x）=f（x）+kx+k有一个零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． [2，+∞）
• B． [0，$\frac{1}{2}$]∪（2，+∞）
• C． （-$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． [-$\frac{1}{2}$，0]∪[2，+∞）

Answer 1

分析 确定分段函数的解析式，分别研究函数的单调性，从而得出函数的零点情况．

解答 解：①当x∈[0，1]时，f（x）=-x，g（x）=f（x）+kx+k=-x+kx+k有一个零点，
则g（0）g（1）＜0，即k（2k-1）＜0，解得0＜k＜$\frac{1}{2}$，
若k=0，g（x）=-x，有一个零点0；
若k=$\frac{1}{2}$，g（x）=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，有一个零点1，∴k∈[0，$\frac{1}{2}$]；
②x∈（-1，0）时，x+1∈（0，1），f（x+1）=-x-1，
f（x）+1=$\frac{1}{-x-1}$，∴f（x）=-1-$\frac{1}{x+1}$；
∴g（x）=-1-$\frac{1}{x+1}$+kx+k，g（0）=k-2，
g'（x）=$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$+k；
当k=0时，g（x）单调增，g（0）=-2，此时无零点；
当k＞0时，g′（x）＞0恒成立，x∈（-1，0）时，
x→-1，g（x）→-∞，x→0，g（x）=k-2＞0，即k＞2，
∴此时g（x）在（-1，0 ）上必然有一个零点；
当k＜0时，令g′（x）=0，考虑到x∈（-1，0 ），此时没有零点；
综上，0＜k≤$\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了分段函数的解析式与函数零点的应用问题，解题的关键是确定分段函数的解析式，是综合性题目．