题目内容
14．设定义在（0，+∞）上的单调函数f（x）对任意的x∈（0，+∞）都有f（f（x）-log2x）=6，若x0是方程f（x）-f′（x）=4的一个解，且x0∈（a，a+1），a∈N，则a等于（ ）| A． | 0 | B． | 1 | C． | 2 | D． | 3 |
分析 由题意可得f（x）-log2x为定值，设为t，代入可得t=4，进而可得函数的解析式，化方程有解为函数F（x）=f（x）-f′（x）-4=log2x-$\frac{1}{xln2}$有零点，易得F（1）＜0，F（2）＞0，由零点的判定可得答案
解答 解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log2x]=6，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）-log2x为定值，
设t=f（x）-log2x，则f（x）=t+log2x，
又由f（t）=6，可得t+log2t=6，
可解得t=4，故f（x）=4+log2x，f′（x）=$\frac{1}{xln2}$，
又x0是方程f（x）-f′（x）=4的一个解，
所以x0是函数F（x）=f（x）-f′（x）-4=log2x-$\frac{1}{xln2}$的零点，
分析易得F（1）=-$\frac{1}{ln2}$＜0，F（2）=1-$\frac{1}{2ln2}$=1-$\frac{1}{ln4}$＞0，
故函数F（x）的零点介于（1，2）之间，故a=1，
故选：B．
点评 本题考查函数的零点的判断，涉及导数的运算和性质，属中档题．
练习册系列答案
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| A． | [2，+∞） | B． | [0，$\frac{1}{2}$]∪（2，+∞） | C． | （-$\frac{1}{2}$，+∞） | D． | [-$\frac{1}{2}$，0]∪[2，+∞） |
19．设tan（3π+θ）=a，则$\frac{sin（θ-5π）+cos（π-θ）}{sin（-θ）-cos（π+θ）}$的值为（ ）
| A． | $\frac{a+1}{a-1}$ | B． | $\frac{a-1}{a+1}$ | C． | $\frac{-a-1}{a-1}$ | D． | $\frac{-a+1}{a-1}$ |
6．若ω≠0，函数f（x）=$\frac{tanωx-\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}+tanωx}$图象的相邻两个对称中心之间的距离是$\frac{π}{2}$，则ω的值是（ ）
| A． | $\frac{π}{2}$ | B． | ±2 | C． | 2 | D． | ±1 |
3．已知函数f（x）=$\frac{ln（2x）}{x}$，关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0只有两个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
| A． | （$\frac{1}{3}$，ln2] | B． | （-ln2，-$\frac{1}{3}$ln6） | C． | （-ln2，-$\frac{1}{3}$ln6] | D． | （$\frac{1}{3}$ln6，ln2） |