Question

已知f（x）=log_a

1+x

1-x

（a＞0且a≠1），
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）求使f（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,指、对数不等式的解法

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出f（x）的定义域，再计算f（-x），判断f（-x）与f（x）的关系，即可得到；
（2）讨论a＞1，0＜a＜1，列出不等式组，解出即可得到．

解答： 解：（1）f（x）为奇函数．                            
理由如下：由

1+x

1-x

＞0得函数的定义域为（-1，1），
又f（-x）=log_a

1-x

1+x

=log_a（

1+x

1-x

）^-1=-log_a

1-x

1+x

=-f（x），
所以，f（x）为奇函数．
（2）由题意：当0＜a＜1时，有

-1＜x＜1 0＜ 1+x 1-x ＜1

 解得-1＜x＜0； 
当a＞1时，有

-1＜x＜1 1+x 1-x ＞1

  解得0＜x＜1．
综上，当0＜a＜1时，-1＜x＜0； 当a＞1时，0＜x＜1．

点评：本题考查函数的奇偶性的判断，同时考查对数不等式的解法，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．