Question

已知函数f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|，
（1）若关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解，求实数a的取值范围；
（2）设h（x）=|f（x）|+g（x），当x∈[-2，2]时，不等式h（x）≤a²恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数在闭区间上的最值

专题：计算题,压轴题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，|x²-1|=a|x-1|，即|x-1|（|x+1|-a）=0，从而化为方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解，从而求出实数a的取值范围；
（2）恒成立问题化为最值问题，h（x）=|f（x）|+g（x）=|x²-1|+a|x-1|=

x2+ax-a-1，x≥1 -x2-ax+a+1，-1≤x＜1 x2-ax+a-1，x＜-1

，讨论a的不同取值范围从而确定函数的单调性，从而求出函数的最大值，令最大值）≤a²，从而求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）方程|f（x）|=g（x）可化为|x²-1|=a|x-1|，
变形得|x-1|（|x+1|-a）=0，
显然，x=1已是该方程的根，
从而欲原方程只有一解，
即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解，
则a＜0．
（2）由题意，h（x）=|f（x）|+g（x）=|x²-1|+a|x-1|
=

x2+ax-a-1，x≥1 -x2-ax+a+1，-1≤x＜1 x2-ax+a-1，x＜-1

，
①当

a

2

＞1，即a＞2时，结合图形可知h（x）在[-2，1]上递减，在[1，2]上递增，
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，
经比较，此时h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3，
则当x∈[-2，2]时，不等式h（x）≤a²恒成立可化为3a+3≤a²，
解得a≥

3+ 21

2

；
②当0≤

a

2

≤1，即0≤a≤2时，
结合图形可知h（x）在[-2，-1]，[-

a

2

，1]上递减，在[-1，-

a

2

]，[1，2]上递增；
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，h（-

a

2

）=

a2

4

+a+1，
经比较，知此时h（x）在[-2，2]上的最大值为3a+3，
则当x∈[-2，2]时，不等式h（x）≤a²恒成立可化为3a+3≤a²，
无解；
③当-1≤

a

2

＜0，即-2≤a＜0时，
结合图形可知h（x）在[-2，-1]，[-

a

2

，1]上递减，在[-1，-

a

2

]，[1，2]上递增；
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，h（-

a

2

）=

a2

4

+a+1，
经比较，知此时h（x）在[-2，2]上的最大值为a+3，
则当x∈[-2，2]时，不等式h（x）≤a²恒成立可化为a+3≤a²，
解得，-2≤a≤

1- 13

2

；
④当-

3

2

≤

a

2

＜-1，即-3≤a＜-2时，
结合图形可知h（x）在[-2，

a

2

]，[1，-

a

2

]上递减，在[

a

2

，1]，[-

a

2

，2]上递增，
且h（-2）=3a+3＜0，h（2）=a+3≥0，
经比较，知此时h（x）在[-2，2]上的最大值为a+3．
则当x∈[-2，2]时，不等式h（x）≤a²恒成立可化为a+3≤a²，
解得，-3≤a＜-2；
⑤当

a

2

＜-

3

2

，即a＜-3时，结合图形可知h（x）在[-2，1]上递减，在[1，2]上递增，
故此时h（x）在[-2，2]上的最大值为h（1）=0，
则当x∈[-2，2]时，不等式h（x）≤a²恒成立可化为0≤a²，
则a＜-3；
综上所述，实数a的取值范围为（-∞，

1- 13

2

]∪[

3+ 21

2

，+∞）．

点评：本题考查了方程的根的个数问题及恒成立问题，恒成立问题化为最值问题处理，但讨论比较困难，化简也很繁琐，属于难题．