Question

已知函数f（x）对于任意的x∈R，都满足f（-x）=f（x），且对任意的a，b∈（-∞，0]，当a≠b时，都有

f(a)-f(b)

a-b

＜0，若f（m+1）＜f（2m-1），则实数m的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意可得函数f（x）为偶函数，在（-∞，0]上是减函数，故由不等式可得|m+1|＜|2m-1|，由此求得m的范围．

解答： 解：由f（-x）=f（x），可得函数f（x）为偶函数．
再根据对任意的a，b∈（-∞，0]，当a≠b时，都有

f(a)-f(b)

a-b

＜0，
故函数在（-∞，0]上是减函数，则在[0，+∞）上是增函数，
故由f（m+1）＜f（2m-1），
可得|m+1|＜|2m-1|，解得m＜0或m＞2，
故答案为：m＜0或m＞2．

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性，得到|m+1|＜|2m-1|是解题的关键，属于中档题．