Question

2．已知：cosα+sinα=$\frac{2}{3}$，则$\frac{\sqrt{2}sin（2α-\frac{π}{4}）+1}{1+tanα}$的值为-$\frac{5}{9}$．

Answer 1

分析 将已知等式两边平方，利用二倍角公式可求sin2α=-$\frac{5}{9}$，将所求利用三角函数恒等变换的应用化简即可得解．

解答 解：∵cosα+sinα=$\frac{2}{3}$，
∴两边平方可得：1+sin2α=$\frac{4}{9}$，可得：sin2α=-$\frac{5}{9}$，
∴$\frac{\sqrt{2}sin（2α-\frac{π}{4}）+1}{1+tanα}$=$\frac{sin2α-cos2α+1}{1+tanα}$=$\frac{2sinαcosα-（1-2si{n}^{2}α）+1}{\frac{cosα+sinα}{cosα}}$=$\frac{2sinαcosα（cosα+sinα）}{cosα+sinα}$
=sin2α=-$\frac{5}{9}$．
故答案为：-$\frac{5}{9}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．