Question

19．已知函数f（x）=x-a-lnx（a∈R）．
（1）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明：若0＜x₁＜x₂，则x₁lnx₁-x₁lnx₂＞x₁-x₂．

Answer 1

分析 （1）判断f（x）的单调性，计算f（x）的最小值，令f_min（x）≥0即可得出a的范围；
（2）令a=1，根据f（x）≥0得出lnx≤x-1在（0，+∞）上恒成立，把x=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$代入化简即可得出结论．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
f（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
令f'（x）＞0，得x＞1；令f'（x）＜0，得0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴f_min（x）=f（1）=1-a，
∵f（x）≥0恒成立，
∴1-a≥0，解得a≤1．
（2）证明：取a=1，f（x）=x-1-lnx，
由（1）知x-1-lnx≥0恒成立，即lnx≤x-1恒成立，
∴$ln\frac{x_2}{x_1}＜\frac{x_2}{x_1}-1$，（0＜x₁＜x₂），
∴lnx₂-lnx₁＜$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-1，∴x₁lnx₂-x₁lnx₁＜x₂-x₁．
∴x₁lnx₁-x₁lnx₂＞x₁-x₂．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，函数最值的计算及单调性应用，属于中档题．