Question

【题目】已知函数，，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若存在与函数，的图象都相切的直线，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【解析】

（1）求的定义域，导数，利用二次函数的性质分类讨论导数的正负，从而求出的单调性. （2）函数的图象上点与函数的图象上点处切线相同，利用导数求切线的斜率建立关系式，求出导数和单调区间以及最值，运用单调性计算可求出的范围.

（1）函数的定义域为，

.

，

所以当即时，，在上单调递增；

当，即或时，

方程的根为，.

当时，有，，在上单调递增；

当时，有.

	+	-	+
	增	减	增

综上：当时，在上单调递增，

当时，在，上单调递增，

在上单调递减.

（2）设函数的图象上点与函数的图象上点处切线相同，

则，

即，

由得 ①

由，

得 ②

由①②得：，

设

问题转化为在有解，

则，

不妨设，

则当时，，当时，，

∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，

∴是的最小值.

只需，即 ③

而，故代入③式，得

，

令，易得，

，则在递增.

故的解集是（0，1]，即.

由，得.

即实数的取值范围是.