Question

9．在等差数列{a_n}中，已知a₁=20，前n项和为S_n，且S₆=S₁₅，
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求当n取何值时，S_n取得最大值，并求出它的最大值；
（3）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列前n项和公式$\frac{（{a}_{1}+{a}_{6}）×6}{2}$=$\frac{{（a}_{1}+{a}_{15}）×15}{2}$，将a₁=20，即可求得公差d，根据等差数列通项公式即可求得{a_n}的通项公式；
（2）根据二次函数图象对称确定，当n=11，a₁₁=0，可知n=10或11时，S₁₀=S₁₁，S_n取得最大值，根据等差数列前n项和公式，即可求得S_n取得最大值；
（3）由题意可知当n≤11时，a_n≥0，求得T_n，当n≥12时，a_n＜0根据数列的性质，可知T_n=2S₁₁-（21n-n²）=n²-21n+220，即可求得数列{|a_n|}的前n项和T_n．

解答 解：（1）由题意可知：S₆=S₁₅，即$\frac{（{a}_{1}+{a}_{6}）×6}{2}$=$\frac{{（a}_{1}+{a}_{15}）×15}{2}$，
∴2a₆=3a₁+5a₁₅，
∴2（a₁+5d）=3a₁+5（a₁+14d），
解得：d=-2，
∴a_n=20+（-2）（n-1）=22-2n，
∴{a_n}的通项公式a_n=22-2n；
（2）由题意可知，S₆=S₁₅，
∴S_n=f（n）的对称轴方程为：n=$\frac{6+15}{2}$=10.5，
10.5∉N*，
∴n=10或11时，S₁₀=S₁₁，
∴a₁₁=0，d＜0，
∴S₁₀=S₁₁=$\frac{（20+0）×11}{2}$=110，
S_n最大值为110．
（3）由题意可知：a₁₁=0，
∴当n≤11时，a_n≥0，
T_n=$\frac{（20+22-2n）n}{2}$=21n-n²，
当n≥12时，a_n＜0，
T_n=2S₁₁-（21n-n²）=n²-21n+220，
∴${S_n}=\left\{\begin{array}{l}21n-{n^2}，1≤n≤11\\ 220-21n+{n^2}，n≥12.\end{array}\right.$．

点评 本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式，考查等差数列前n项和公式的性质及其图象，考查含绝对值数列的前n项和公式的求法，属于中档题．