题目内容
已知数列{an}的通项公式为an=pn2+qn．
（1）当p，q满足什么条件时，数列{an}是等差数列；
（2）求证：对任意实数p、q，数列{an+1-an}是等差数列．
（1）当p，q满足什么条件时，数列{an}是等差数列；
（2）求证：对任意实数p、q，数列{an+1-an}是等差数列．
考点：等差关系的确定
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）根据等差数列的定义，即可得到结论．
（2）根据等差数列的定义即可证明．
（2）根据等差数列的定义即可证明．
解答：
解：（1）∵an=pn2+qn．
∴若数列{an}是等差数列；
则当n＞1时，an-an-1=pn2+qn-[p（n-1）2+q（n-1）]=2pn+q-p为常数，
∴必有p=0，
即当p=0，数列{an}是等差数列；
（2）∵an=pn2+qn．
∴当n＞1时，an-an-1=pn2+qn-[p（n-1）2+q（n-1）]=2pn+q-p，
即an+1-an=2p（n+1）+q-p，
∴（an+1-an）-（an-an-1）=2p为常数，
即对任意实数p、q，数列{an+1-an}是等差数列．
∴若数列{an}是等差数列；
则当n＞1时，an-an-1=pn2+qn-[p（n-1）2+q（n-1）]=2pn+q-p为常数，
∴必有p=0，
即当p=0，数列{an}是等差数列；
（2）∵an=pn2+qn．
∴当n＞1时，an-an-1=pn2+qn-[p（n-1）2+q（n-1）]=2pn+q-p，
即an+1-an=2p（n+1）+q-p，
∴（an+1-an）-（an-an-1）=2p为常数，
即对任意实数p、q，数列{an+1-an}是等差数列．
点评：本题主要考查等差数列的判断，根据等差数列的定义是解决本题的关键．
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| 1 |
| 6 |
| n |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| p |
| 2 |
| 1 |
| 6 |
| A、E=F?G |
| B、E?F=G |
| C、E⊆F?G |
| D、E?F?G |