Question

已知,
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在处有极值，求的单调递增区间；
（Ⅲ）是否存在实数，使在区间的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

（Ⅰ） （Ⅱ）  （Ⅲ）

试题分析：（Ⅰ）求曲线在一点处的切线方程，一要抓切点（1,2），一要抓导数的几何意义即切线的斜率，便求出切线方程；（Ⅱ）先利用极值求出系数，再利用及定义域，求出单调递增区间为；（Ⅲ）利用导数求某区间上的最值,要综合应用极值、单调性进行判定求解,特别对的形式、的根进行分类讨论.多见于单调函数、单峰（谷）函数.
试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为， 因为，所以
当时，，，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即.       3分
（Ⅱ）因为在处有极值，所以， 由（Ⅰ）知，所以
经检验，时在处有极值．                        4分
所以，令,解得或；
因为的定义域为，所以的解集为，
即的单调递增区间为.                       6分
（Ⅲ）假设存在实数，使在区间上有最小值3，由，
① 当时， ，在上单调递减，
，解得，舍去.              8分
②当即时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，满足条件.         10分
③ 当即时，，
所以在上单调递减，，解得，舍去.
综上，存在实数，使在区间上的最小值是3.      12分