Question

已知.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处有极值，求的单调递增区间；
（3）是否存在实数，使在区间的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

(1)；（2）；（3）.

试题分析：(1)考查了导数的几何意义，先求出切线的斜率，再用点斜式写方程；（2）由求得，得令结合函数的定义域求解即可；（3）首先假设存在实数满足题意，分三种情况研究函数的单调性寻找其最小值,是对函数单调性的考查.
试题解析：（1）由已知得的定义域为，
因为，所以当时，，所以，
因为，所以                       2分
所以曲线在点处的切线方程为
即.                          4分
（2）因为处有极值，所以，
由（1）知所以
经检验，时在处有极值.                         6分
所以令解得；
因为的定义域为，所以的解集为，
即的单调递增区间为.                         8分
（3）假设存在实数a，使有最小值3，
①当时，因为，
所以在上单调递减，
，解得（舍去）                   10分
②当上单调递减，在上单调递增，
，满足条件.                  12分
③当，
所以 上单调递减，，
解得，舍去.
综上，存在实数，使得当有最小值3.             14分