Question

14．某班从6名干部中（其中男生4人，女生2人），选3人参加学校的义务劳动．
（1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及均值；
（2）求男生甲或女生乙被选中的概率；
（3）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．

Answer 1

分析 （1）ξ的所有可能取值为0，1，2，再根据题意分别求出其概率即可得到其分布列，进而求出其期望．
（2）根据题意求出其对立事件的概率，进而根据有关公式求出答案．
（3）记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，再求出事件A与事件A、B共同发生的概率，进而根据条件概率的公式求出答案．

解答 解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，
所以依题意得：P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

所以Eξ=0×$\frac{1}{5}$+1×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{1}{5}$=1，
（2）设“甲、乙都不被选中”为事件C，则P（C）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
所以所求概率为P（$\overline{C}$）=1-P（C）=1-$\frac{1}{5}$=$\frac{4}{5}$．
（3）记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，
所以P（A）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{2}$，P（AB）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
所以P（B|A）=$\frac{P（BA）}{P（A）}$=$\frac{2}{5}$．
所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为$\frac{2}{5}$．

点评 本题主要考查等可能事件的概率与条件概率，以及离散型随机变量的分布列、期望与方差等知识点，属于中档题型，高考命题的趋向．