Question

2．已知函数f（x）=2cosx（cosx-sinx）最小正周期为π，当x∈[0，$\frac{π}{6}$]时，函数f（x）的最小值为$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性、定义域和值域，得出结论．

解答 解：函数f（x）=2cosx（cosx-sinx）=2cos²x-2sinxcosx=cos2x-sin2x+1=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+1的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，
当x∈[0，$\frac{π}{6}$]时，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{12}$]，cos$\frac{7π}{12}$=cos（$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{4}$）=cos$\frac{π}{3}$cos$\frac{π}{4}$-sin$\frac{π}{3}$sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$，
cos（2x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+1∈[$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，2]，
故答案为：π； $\frac{3-\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题．