Question

16．已知函数f（x）=log₂²x-mlog₂x+2，其中m∈R．
（1）当m=3时，求方程f（x）=0的解；
（2）当x∈[1，2]时，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）令t=log₂x，则当m=3时，方程f（x）=0可化为：t²-3t+2=0，解得答案；
（2）令t=log₂x，x∈[1，2]，则t∈[0，1]，y=t²-mt+2，结合二次函数的图象和性质，可得答案．

解答 解：（1）令t=log₂x，则当m=3时，方程f（x）=0可化为：t²-3t+2=0，解得：t=1或t=2
所以x=2或x=4；
（2）令t=log₂x，x∈[1，2]，
则t∈[0，1]，y=t²-mt+2，
其图象开口朝上，且以直线x=$\frac{m}{2}$为对称轴；
①当$\frac{m}{2}$＜0，即m=0时，
则t=0，即x=1时，f（x）_min=2；
②当0≤$\frac{m}{2}$≤1，即0≤m≤2时，
则t=m，即x=2^m时，f（x）_min=$-\frac{{m}^{2}}{4}$+2；
③当$\frac{m}{2}$＞1，即m＞2时，
则t=1，即m=2时，f（x）_min=3-m；
综上f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}2，m＜0\\-\frac{{m}^{2}}{4}+2，0≤m≤2\\ 3-m，m＞2\end{array}\right.$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．