Question

设函数f（x）=x-

1

x

，对任意x∈[1，+∞），f（2mx）+2mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：f（2mx）+2mf（x）＜0可化为4mx²＜2m+

1

2m

，分m＞0，m＜0两种情况进行讨论，分离出参数m后化为函数的最值求解

解答： 解：f（2mx）+2mf（x）＜0，即2mx-

1

2mx

+2mx-

2m

x

＜0，
整理得，4mx²＜2m+

1

2m

，
当m＞0时，x2＜

1

2

+

1

8m2

，不恒成立；
当m＜0时，x2＞

1

2

+

1

8m2

，
∵x∈[1，+∞），∴x²≥1，
∴1＞

1

2

+

1

8m2

，m＜-

1

2

．
综上，实数m的取值范围是m＜-

1

2

．
故答案为：m＜-

1

2

．

点评：该题考查函数恒成立，考查不等式的求解，考查学生分析解决问题的能力，恒成立问题常转化为函数最值解决．