Question

6．已知m∈R，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|2x+1|，x＜1}\\{{log}_{2}（x-1），x＞1}\end{array}\right.$，g（x）=x²-2x+2m-1，下列叙述中正确的有①②④
①函数y=f（f（x））有4个零点；
②若函数y=g（x）在（0，3）有零点，则-1＜m≤1；
③当m≥-$\frac{1}{8}$时，函数y=f（x）+g（x）有2个零点；
④若函数y=f（g（x））-m有6个零点则实数m的取值范围是（0，$\frac{3}{5}$）．

Answer 1

分析 对于①根据函数的零点定理求出x=0或x=-1．或x=3，或x=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故可判断；
对于②当g（x）在（0，3）上有一个零点时，求出m的值．当g（x）在（0，3）上有两个零点时，求出m的取值范围，再取并集即得所求．
对于③，取m=-$\frac{1}{8}$，利用数形结合的思想即可判断．
对于④由于函数f（x），g（x）=x²-2x+2m-1．可得当g（x）=（x-1）²+2m-2＜1，即（x-1）²＜3-2m时，y=f（g（x））=|2g（x）+1|=|2（x-1）²+4m-3|．当g（x）=（x-1）²+2m-2＞1，即（x-1）²＞3-2m时，则y=f（g（x））=log₂[（x-1）²+2m-3]．再对m分类讨论，利用直线y=m与函数
y=f（g（x））图象的交点必须是6个即可得出

解答 解：对于①y=f（f（x））=0，
∴log₂（f（x））=0，或|2f（x）|+1|=0，
∴f（x）=1，或f（x）=-$\frac{1}{2}$，
∴|2x+1|=1，或log₂（x-1）=1或log₂（x-1）=-$\frac{1}{2}$，
解得x=0或x=-1．或x=3，或x=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故函数y=f（f（x））有4个零点，故正确；
对于②g（x）=x²-2x+2m-1，在（0，3）有零点，
当g（x）在（0，3）上有一个零点时
∴g（0）g（3）＜0，
∴（2m-1）（9-6+2m-1）＜0，
即-1＜m＜$\frac{1}{2}$，
或△=4-4（2m-1）=0，解得m=1，
当g（x）在（0，3）上有两个零点时，$\left\{\begin{array}{l}{△=4-4（2m-1）＞0}\\{g（0）＞0}\\{g（3）＞0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{2}$＜m＜1，
当m=$\frac{1}{2}$，g（x）=x²-2x=0，解得x=2，
综上所述：函数y=g（x）在（0，3）有零点，则-1＜m≤1，故②正确，
对于③，若m=-$\frac{1}{8}$时，分别画出y=f（x）与y=-g（x）的图象，如图所示，

由图象可知，函数y=f（x）+g（x）有3个零点，故③不正确．
对于④∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|2x+1|，x＜1}\\{{log}_{2}（x-1），x＞1}\end{array}\right.$，g（x）=x²-2x+2m-1．
∴当g（x）=（x-1）²+2m-2＜1时，即（x-1）²＜3-2m时，则y=f（g（x））=|2g（x）+1|=|2（x-1）²+4m-3|．
当g（x）=（x-1）²+2m-2＞1时，即（x-1）²＞3-2m时，则y=f（g（x））=log₂[（x-1）²+2m-3]．
①当3-2m≤0即m≥$\frac{3}{2}$时，y=m只与y=f（g（x））=log₂[（x-1）2+2m-3]的图象有两个交点，不满足题意，应该舍去．
②当m＜$\frac{3}{2}$时，y=m与y=f（g（x））=log₂[（x-1）2+2m-3]的图象有两个交点，需要直线y=m与函数
y=f（g（x））=|2g（x）+1|=|2（x-1）²+4m-3|的图象有四个交点时才满足题意．
∴0＜m＜3-4m，又m＜$\frac{3}{2}$，解得0＜m＜$\frac{3}{5}$．
综上可得：m的取值范围是0＜m＜$\frac{3}{5}$．
故④正确，
故答案为：①②④．

点评 本题考查了分段函数的图象与性质、含绝对值函数的图象、对数函数的图象、函数图象的交点的与函数零点的关系，考查了推理能力与计算能力、数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．