Question

13．已知A={x|x+a＞0}，B={x|bx＜1}，其中a，b均为实常数且b≠0．
（1）若A∩B={x|3＜x＜4}，求a，b的值；
（2）若A∪B={x|x≠$\frac{1}{b}$}，求a，b之间的关系．

Answer 1

分析 （1）求出集合的等价条件，根据A∩B={x|3＜x＜4}，即可求a，b的值；
（2）根集合A，B的元素，结合A∪B={x|x≠$\frac{1}{b}$}，即可建立条件关系，即可求a，b之间的关系．

解答 解：（1）A={x|x+a＞0}={x|x＞-a}，
若A∩B={x|3＜x＜4}，
则必有b＞0，即B={x|bx＜1}={x|x＜$\frac{1}{b}$}，
且$\frac{1}{b}$=4，-a=3，即a=-3，b=$\frac{1}{4}$；
（2）A={x|x＞-a}，
若b＞0，则B={x|bx＜1}={x|x＜$\frac{1}{b}$}，
若b＜0，则B={x|bx＜1}={x|x＞$\frac{1}{b}$}，
若A∪B={x|x≠$\frac{1}{b}$}，
则b＞0，
且-a=$\frac{1}{b}$，即ab=-1，b＞0．

点评 本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用，利用不等式之间的关系是解决本题的关键．