Question

18．已知y=f（x）是R上的奇函数，f（-1）=-1，且对任意x∈（-∞，0），f（x）=$\frac{1}{x}$f（$\frac{x}{x-1}$）都成立．
（1）求f（-$\frac{1}{2}$）、f（-$\frac{1}{3}$）的值；
（2）设a_n=f（$\frac{1}{n}$）（n∈N*），求数列{a_n}的递推公式和通项公式；
（3）记T_n=a₁a_n+a₂a_n-1+a₃a_n-2+…+a_na₁，求$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}$的值．

Answer 1

分析 （1）对等式f（x）=$\frac{1}{x}$f（$\frac{x}{x-1}$），令x=-1，则f（-1）=-$f（\frac{1}{2}）$，可得$f（\frac{1}{2}）$，f（-$\frac{1}{2}$）=-$f（\frac{1}{2}）$．令x=-$\frac{1}{2}$，可得f（-$\frac{1}{2}$）=-2$f（\frac{1}{3}）$=2$f（-\frac{1}{3}）$，解得$f（-\frac{1}{3}）$．
（2）令x=-$\frac{1}{n}$，则$f（-\frac{1}{n}）$=-n$f（\frac{1}{n+1}）$，$f（\frac{1}{n+1}）$=$\frac{1}{n}$$f（\frac{1}{n}）$，可得a_n+1=$\frac{1}{n}$a_n，利用a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁，即可得出a_n．
（3）T_n=a₁a_n+a₂a_n-1+a₃a_n-2+…+a_na₁=$\frac{1}{0!•（n-1）!}$+$\frac{1}{1!•（n-2）!}$+…+$\frac{1}{（n-1）!•0!}$=$\frac{1}{（n-1）!}$$[{∁}_{n-1}^{0}+{∁}_{n-1}^{1}+…+{∁}_{n-1}^{n-1}]$=$\frac{{2}^{n-1}}{（n-1）!}$．进而得出．

解答 解：（1）对等式f（x）=$\frac{1}{x}$f（$\frac{x}{x-1}$），令x=-1，则f（-1）=-$f（\frac{1}{2}）$=-1，可得$f（\frac{1}{2}）$=1，∴f（-$\frac{1}{2}$）=-$f（\frac{1}{2}）$=-1．
令x=-$\frac{1}{2}$，可得f（-$\frac{1}{2}$）=-2$f（\frac{1}{3}）$=2$f（-\frac{1}{3}）$=-1，解得$f（-\frac{1}{3}）$=-$\frac{1}{2}$．
（2）令x=-$\frac{1}{n}$，则$f（-\frac{1}{n}）$=-n$f（\frac{1}{n+1}）$，∴$f（\frac{1}{n+1}）$=$\frac{1}{n}$$f（\frac{1}{n}）$，∴a_n+1=$\frac{1}{n}$a_n，
又a₁=f（1）=-f（1）=1．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁
=$\frac{1}{n-1}•\frac{1}{n-2}$•…•$\frac{1}{2}×$1×1=$\frac{1}{（n-1）!}$．
∴a_n=$\frac{1}{（n-1）!}$．
（3）T_n=a₁a_n+a₂a_n-1+a₃a_n-2+…+a_na₁=$\frac{1}{0!•（n-1）!}$+$\frac{1}{1!•（n-2）!}$+…+$\frac{1}{（n-1）!•0!}$
=$\frac{1}{（n-1）!}$$[{∁}_{n-1}^{0}+{∁}_{n-1}^{1}+…+{∁}_{n-1}^{n-1}]$=$\frac{{2}^{n-1}}{（n-1）!}$．
∴T_n+1=$\frac{{2}^{n}}{n！}$．
∴$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2}{n}$=0．

点评 本题考查了函数关系式、数列递推关系、“累乘求积“方法、排列与组合计算公式、二项式定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．