Question

9．在以O为极点的极坐标系中，曲线ρ=2cosθ和直线ρcosθ=a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 求出曲线的直角坐标方程为：x²+y²-2x=0，直线的直角坐标方程为：x=a，作出图形，利用勾股定理能求出a的值．

解答 解：∵曲线ρ=2cosθ和直线ρcosθ=a，
∴曲线的直角坐标方程为：x²+y²-2x=0，
直线的直角坐标方程为：x=a，
∵曲线ρ=2cosθ和直线ρcosθ=a相交于A，B两点．△AOB是等边三角形，
∴如图，设OC=a，BC=b，则$\sqrt{3}b$=a，解得b=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，
∴B（a，$\frac{\sqrt{3}}{3}$a），∴${a}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}-2×a=0$，
解得a=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标的互化公式的合理运用．