Question

7．已知在四棱锥C-ABDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，M为AB的中点．
（1）求证：CM⊥EM；
（2）若直线DM与平面ABC所成角的正切值为2，求二面角B-CD-E的大小．

Answer 1

分析 （1）推导出CM⊥AB，DB⊥CM，从而CM⊥平面ABDE，由此能证明CM⊥EM．
（2）以点M为坐标原点，MC，MB所在直线分别为x，y轴，过M且与直线BD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-CD-E的大小．

解答 证明：（1）∵△ABC是等边三角形，M为AB的中点，∴CM⊥AB．
又∵DB⊥平面ABC，
∴DB⊥CM，∴CM⊥平面ABDE，
∵EM?平面ABDE，∴CM⊥EM．（4分）
解：（2）如图，以点M为坐标原点，MC，MB所在直线分别为x，y轴，
过M且与直线BD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系．
∵DB⊥平面ABC，∴∠DMB为直线DM与平面ABC所成的角．（6分）
由题意得tan$∠DMB=\frac{BD}{MB}=2$，即BD=2，故B（0，1，0），C（$\sqrt{3}，0，0$），D（0，1，2），E（0，-1，1），
∴$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{3}，-1，0$），$\overrightarrow{BD}$=（0，0，2），$\overrightarrow{CE}$=（-$\sqrt{3}，-1，1$），$\overrightarrow{CD}$=（-$\sqrt{3}，1，2$），
设平面BCD与平面CDE的法向量分别为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=\sqrt{3}x-y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=2z=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，0）．
同理求得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），（10分）
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=0，∴二面角B-CD-E的大小为90°．（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．