Question

19．设实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y≥1\\ x+y≤4\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$，则目标函数z=x-3y的取值范围为（　　）

• A． [-12，1]
• B． [-12，0]
• C． [-2，4]
• D． [1，4]

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合直线的截距，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：由z=x-3y得y=$\frac{1}{3}x-\frac{z}{3}$，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=$\frac{1}{3}x-\frac{z}{3}$，
由图象可知当直线y=$\frac{1}{3}x-\frac{z}{3}$经过点C（4，0）时，直线y=$\frac{1}{3}x-\frac{z}{3}$的截距最小，
此时z最大，此时z=4，
经过点B时，直线截距最大，此时z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=1}\\{x+y=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
代入目标函数z=x-3y，
得z=$\frac{5}{2}$-3×$\frac{3}{2}$=-2，
即-2≤z≤4，
故选：C．

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．