在直角坐标系xOy中.曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+acost\\ y=asint\end{array}$.在以坐标原点为极点.x轴正半轴为极轴的极坐标系中.曲线C2:ρ=2sinθ．(1)求曲线C1的普通方程.并将C1的方程化为极坐标方程,(2)直线C3的极坐标方程为θ=$\frac{π}{4}$.若曲线C1与C2的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+acost\\ y=asint\end{array}$（t为参数，a＞0），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂：ρ=2sinθ．
（1）求曲线C₁的普通方程，并将C₁的方程化为极坐标方程；
（2）直线C₃的极坐标方程为θ=$\frac{π}{4}$，若曲线C₁与C₂的公共点都在C₃上，求a的值．

分析（1）利用三种方程的转化方法求曲线C₁的普通方程，并将C₁的方程化为极坐标方程；
（2）曲线C₁与C₂的公共点的极坐标满足方程组$\left\{\begin{array}{l}{ρ^2}-2ρcosθ+1-{a^2}=0\\ ρ=2sinθ\end{array}\right.$，若ρ≠0，由方程组得4sin²θ-4sinθcosθ+1-a²=0，由已知$θ=\frac{π}{4}$，即可求a的值．

解答解：（1）消去参数t得到C₁的普通方程（x-1）²+y²=a²，将x=ρcosθ，y=sinθ代入C₁的普通方程，得到C₁的极坐标方程，ρ²-2ρcosθ+1-a²=0．
（2）曲线C₁与C₂的公共点的极坐标满足方程组$\left\{\begin{array}{l}{ρ^2}-2ρcosθ+1-{a^2}=0\\ ρ=2sinθ\end{array}\right.$，若ρ≠0，
由方程组得4sin²θ-4sinθcosθ+1-a²=0，由已知$θ=\frac{π}{4}$，可解得1-a²=0，
根据a＞0，得到a=1，当a=1时，极点也为C₁、C₂的公共点都在C₃上，所以a=1．