Question

8．已知$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+2mlnx-（2+m）x，m∈R$．
（I）当m＞0时，讨论f（x）的单调性；
（II）若对任意的a，b∈（0，+∞）且a＞b有f（a）-f（b）＞m（b-a）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为对任意0＜b＜a，f（a）+ma＞f（b）+mb恒成立，令F（x）=f（x）+mx，根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（I）由题意可得：函数f（x）的定义域为（0，+∞）…（1分）
$f（x）=x+\frac{2m}{x}-（2+m）$=$\frac{{{x^2}-（2+m）x+2m}}{x}$=$\frac{（x-2）（x-m）}{x}$…（3分）
当m＞2时，令f'（x）＞0，解得：0＜x＜2或x＞m，
令f'（x）＜0，解得：2＜x＜m
∴函数f（x）的单调增区间为（0，2）和（m，+∞）
单调减区间为：（2，m）…（5分）
当m=2时f'（x）≥0
∴f（x）的递增区间为（0，+∞），无递减区间．
当0＜m＜2时，令f'（x）＞0，解得：0＜x＜m或x＞2，
令f'（x）＜0，解得：m＜x＜2
∴函数f（x）的单调增区间为（0，m）和（2，+∞）
单调减区间为：（m，2）…（7分）
（II）∵对任意0＜b＜a，f（a）-f（b）＞m（b-a）恒成立．
∴对任意0＜b＜a，f（a）+ma＞f（b）+mb恒成立．…（9分）
令F（x）=f（x）+mx，则F（x）在（0，+∞）上为增函数…（10分）
又$F（x）=\frac{1}{2}{x^2}+2mlnx-2x$
∴$F'（x）=x+\frac{2m}{x}-2$=$\frac{{{x^2}-2x+2m}}{x}$=$\frac{{{{（x-1）}^2}+2m-1}}{x}=\frac{{{{（x-1）}^2}-（1-2m）}}{x}$…（12分）
∴F'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴1-2m≤0，即$m≥\frac{1}{2}$…（14分）

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道中档题．