Question

18．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=2与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=2|PQ|
（Ⅰ）求C的方程
（Ⅱ）判断C上是否存在两点M，N，使得M，N关于直线l：x+y-4=0对称，若存在，求出|MN|，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设Q（x₀，2），代入抛物线方程，结合抛物线的定义，可得p=2，进而得到抛物线方程；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），求出MN的中点T的坐标，利用垂直平分，建立方程，即可得出M，N，使得M，N关于直线l对称．

解答 解：（1）设Q（x₀，2），P（0，2）代入由y²=2px（p＞0）中得x₀=$\frac{2}{p}$，
所以|PQ|=$\frac{2}{p}$，|QF|=$\frac{p}{2}$+$\frac{2}{p}$，
由题设得$\frac{p}{2}$+$\frac{2}{p}$=2×$\frac{2}{p}$，解得p=-2（舍去）或p=2．
所以C的方程为y²=4x．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则k_MN=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
MN的中点T的坐标为（$\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}{8}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
∵M，N关于直线l对称，∴MN⊥l，∴$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=1①，
∵中点T在直线l上，∴$\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}{8}$+$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$-4=0②，
由①②可得y₁+y₂=4，y₁y₂=0，
∴y₁=0，y₂=4，
∴C上存在两点（0，0），（4，4），使得M，N关于直线l对称．

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．