Question

17．如图所示，△ABC内接于圆，AD切圆于A，E是BA延长线上一点，连接CE交AD于D点．若D是CE的中点．求证：AC²=AB•AE．

Answer 1

分析 过E作EF∥AC交AD的延长线于点F．证明△ACD≌△FED，得出AC=EF，△ABC∽△EFA，得出$\frac{AB}{AC}=\frac{EF}{AE}$，即可证明结论．

解答 证明：过E作EF∥AC交AD的延长线于点F．
∵CD=DE，∴△ACD≌△FED，
∴AC=EF．
∵AD切圆于A，∴∠B=∠CAF，
∵EF∥AC，
∴∠BAC=∠AEF，∠CAD=∠F，
∴∠B=∠F，
∴△ABC∽△EFA．
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{EF}{AE}$，
∴AC•EF=AB•AE，∴AC²=AB•AE．

点评 本题考查三角形全等的证明，考查三角形相似的判定与性质，属于中档题．