Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=90°，AB⊥侧面BB₁C₁C．
（1）求直线C₁B与底面ABC所成角的正弦值；
（2）若E为CC₁的中点，AB=

2

，求平面AEB₁与平面A₁EB₁的夹角的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出CC₁⊥平面ABC，∠C₁BC中为直线C₁B与底面ABC所成角，由此能求出直线C₁B与底面ABC所成角的正弦值．
（2）由题设条件推导出异面直线A₁B₁与AE的夹角∠EAB等于二面角A-EB₁-A₁的平面角的大小，由此能求出平面AEB₁与平面A₁EB₁的夹角．

解答： 解：（1）∵BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=90°，AB丄侧面BB₁C₁C，
∴CC₁⊥平面ABC，
在Rt△BCC₁中，∠C₁BC中为直线C₁B与底面ABC所成角
∵BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=90°，
∴BC₁=

4+1

=

5

，
∴sin∠C₁BC=

CC1

BC1

=

2

5

=

2 5

5

．
∴直线C₁B与底面ABC所成角的正弦值为

2 5

5

．
（2）∵A₁B₁∥AB，∴A₁B₁⊥侧面BB₁C₁C，
∴A₁B₁⊥EB₁，且EB₁在面A₁EB₁内，
∵EA⊥EB₁，EA在面AEB₁内，
即A₁B₁，AE分别在两个半平面内，均和棱EB₁垂直，
∴异面直线A₁B₁与AE的夹角∠EAB等于二面角A-EB₁-A₁的平面角的大小，
∵AB=

2

，EB=1，
∴tan∠EAB=

BE

AB

=

2

2

，
∴平面AEB₁与平面A₁EB₁的夹角为arctan

2

2

．

点评：本题考查直线与平面所成角的大小的求法，考查二面角的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．