Question

12．已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0．
（1）求证：直线l过定点；
（2）判断该定点与圆的位置关系；
（3）当m为何值时，直线l被圆C截得的弦最长．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，则$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，即可求得D点坐标，直线l过定点；
（2）由D（3，1）坐标代入圆C的方程，得左边=（3-1）²+（1-2）²=5＜25=右边，点D（3，1）在圆C内；
（3）当直线l经过圆心C（1，2）时，被截得的弦最长，可知直线l的斜率k_l=k_CD，由k_l=-$\frac{2m+1}{m+1}$，则k_CD=$\frac{2-1}{1-3}$=-$\frac{1}{2}$，即可求得m的值．

解答 解：（1）证明：将直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，
整理得：m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，
由于m的任意性，则$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴直线l恒过定点D（3，1）；
（2）把点D（3，1）坐标代入圆C的方程，得左边=（3-1）²+（1-2）²=5＜25=右边，
∴点D（3，1）在圆C内；
（3）当直线l经过圆心C（1，2）时，被截得的弦最长（等于圆的直径长），
此时，直线l的斜率k_l=k_CD，
由直线l的方程得k_l=-$\frac{2m+1}{m+1}$，
由点C、D的坐标得k_CD=$\frac{2-1}{1-3}$=-$\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{2m+1}{m+1}$=-$\frac{1}{2}$，解得：m=-$\frac{1}{3}$，
所以，当m=-$\frac{1}{3}$，时，直线l被圆C截得的弦最长．

点评 本题考查直线的方程，点与圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．