Question

2．已知0＜a＜1，函数f（x）=log_a（a^x-1）
（I）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性；
（Ⅲ）若m满足f（1-m）≥f（1-m²），求m的范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据对数函数的性质求出函数的定义域即可；
（Ⅱ）根据复合函数同增异减的原则，结合换元法判断出f（x）的单调性即可；
（Ⅲ）根据函数的单调性以及对数函数的性质得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）由a^x-1＞0，得a^x＞1，
因为0＜a＜1，所以x＜0，
所以f（x）定义域为（-∞，0）…（4分）
（Ⅱ）设y=log_aU，U=a^x-1
因为0＜a＜1，y=log_aU是减函数，U=a^x-1是减函数，
所以$f（x）={log_a}（{a^x}-1）$是（-∞，0）上的增函数    …（8分）
（Ⅲ）由（2）知f（x）是（-∞，0）上的增函数，
所以$\left\{\begin{array}{l}1-m＜0\\ 1-{m^2}＜0\\ 1-m≥1-{m^2}\end{array}\right.$，解得：m＞1…（13分）

点评 本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道中档题．