Question

（本小题满分14分）已知动圆过定点，且和定直线相切．（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；（Ⅱ）已知点，过点作直线与曲线交于两点，若（为实数），证明：．

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)  见解析

（Ⅰ）解：由抛物线定义知
点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，………3分
所以点的轨迹的方程是．……………………5分
（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为，代入抛物线方程得：．
设两点的坐标分别是，，则．………………7分
由点P满足，得．
又点Q的坐标是，从而．
而，……………………9分
则
=
===0．
所以，．……………………14分